数学悖论奇景: 超级任务
6．超级任务
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M：在这里，哲学家争论的是一类新的时间悖论，称为超级任务。最简单的一个是关于一盏灯，它用按钮来开关。 |
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M：把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟。如此往复。这一序列的末了恰好是两分钟。那么在这一系列过程结束后，灯是开着还是关着？ |
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M：电灯按钮每按奇数次，就使电灯打开。每按偶数次，就使它关掉。如果电灯最终是开着，则意味着最后的计数是奇数。如果最终灯灭了，则表示最后一次是偶数。但是根本不存在最后一次这个数。但电灯不是开着就是关着，可是无法知道究竟是哪一种。 |
现在自然科学的哲学家对于怎样澄清涉及“超级任务”的悖论意见尚不一致，而超级任务乃是指由称为“无穷大机器”来完成的任务。电灯的悖论是汤姆森首次写出它之后而以汤姆森悖论闻名的。人人都同意汤姆森电灯是造不出来的，但问题的关键不在这里。关键是，如果作出某些假定，这种电灯在逻辑上是否可以接受。有些人认为这种电灯是富有意义的“思想实验”，而另一些人则断定它毫无意义。
这个悖论颇为麻烦，因为看上去似乎没有任何合乎逻辑的理由说明那盏电灯不能完成一个开和关的无穷序列，就如基诺的跑步人那样。如果说基诺的跑步人能够在两分钟内跑完无穷多个中点，那么为什么就不能有一个理想的电灯开关，按了无穷多次便在恰好两分钟内结束一系列的开关过程呢？但是，假如这种电灯能做到这一点，看来就证明确有“最后”一次开、关的次数，这是荒诞无稽的。
哲学家马克斯·布莱克提出了同样的悖论，一个无穷大机器把一枚玻璃球在一分钟内从盘A送到盘B，然后在1/2分钟内再把玻璃球倒回盘A，在下一个1/4分钟又把玻璃球倒到盘B，如此往复，每次的时间都是这个序列中前次的一半。这个序列是收敛的，在准确的两分钟时结束。玻璃球在那里？如果它在某一个盘子里，就意味着最后倒盘的次数不是奇数，就是偶数。由于根本没有最后一次，所以两种可能性看来都排除了。但是假如玻璃球不在盘子上，那么它在哪里？
对这样那样的超级任务感兴趣的学生可以在萨尔蒙出的书中找到一些基本论文，这些论文在阿道尔夫·格伦德鲍姆的《现代科学和基诺悖论》一书中有详细的引述和分析。此外1971年3月的《科学美国人》中的数学游戏也介绍过这个内容。
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