数学悖论奇景: 主人和狗的悖论
7．主人和狗的悖论
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M：这是由一只狗来完成的超级任务。开始，小狗弗多和它的主人汤姆在一起。玛丽在一公里外。 |
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M：汤姆和玛丽彼此以每小时2公里的速度迎面步行。弗多对两位主人同样地热爱，故在两人之间来回跑个不停。假定小狗来回跑掉头是即刻发生的。 |
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M：在这张时间—距离图上很容易者出弗多跑的路线。当汤姆和玛丽在路中心碰面时，弗多是向西还是向东？ |
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M：那个问题就如电灯最后开着还是关着一样不能回答。但是我们可以帮助汤姆算出狗跑了多远。
汤姆：真够呛，玛丽。我得算一个复杂的之字线路序列的总和。 |
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玛丽：啊，不用，你这笨蛋。我们每人每小时走2公里，所以我们每人每15分钟走半公里。因为我们出发时相隔1公里，所以我们两人在15分钟之末碰面。弗多每小时跑8公里，所以在一刻钟里它跑这个距离的 ，也就是2公里
汤姆：哎呀！你对了！我甚至连这个计算器都用不着了。 |
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M：假定问题反过来，汤姆、玛丽和弗多从中点出发走同一路程。汤姆和玛丽以原有的速率背道而行，弗多则在两人之间来回奔跑。汤姆和玛丽到达这条路的终点时，弗多在哪里？ |
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M：看起来好像是不可能的，但事实却是小狗可以在汤姆和玛丽之间任意一点。如果你不信的话，称可以先把弗多放在汤姆和玛丽之间任意一点，然后开始按第一次的路线走。最后，狗一定会和两人同在中点。 |
头一个问题，玛丽和汤姆彼此相向而行，弗多则在他们之间往返奔跑，这个问题是经典问题，可以有很多不同的陈述方法。有时是一只鸟在两列相向接近的火车之间来回飞，有时是一只飞虫在两辆彼此迎面骑来的自行车之间飞来飞去。大多数人，包括很好的数学家都可能没有看出狗跑的距离很容易算出。在15分钟后，汤姆和玛丽碰面，所以狗跑了15分钟。如果它以每小时8公里的速度奔跑，则15分钟内它必然跑了2公里远。
有一个关于著名的匈牙利数学家冯·纽曼的故事。有人向他提问过一个类似的问题，他想了一会儿就作出了正确的回答。提问的人很称赞他，说道：“大多数人以为他们要用一种困难的方法，即用对走过的路径线段的无穷序列求和的方法来解决这一问题呢。”冯·纽曼有点吃惊，他说：“可我就是那样做的呀。”
在汤姆和玛丽相逢时，弗多面向哪一边？这个问题就类似于问汤姆森电灯是开着还是关了，或是玻璃球在盘A中还是盘B中？看起来好像小狗要么向东，要么向西，但无论何者都意味着，在之字线路的无穷序列中计数的最后一次要么是奇数，要么是偶数。
当我们把这个过程的时间反演，即开始是玛丽、汤姆和弗多在道路的中央，然后玛丽和汤姆背道而驰，弗多在两人中间来回跑，这时就会产生另一个悖论。按照直觉，我们以为，如果一个明确的过程作时间反演的话，这时一切过程都反转过来，那么到结束时，我们必然正好回到起点。可奇怪的是，当时间反推时，上述进程不再是十分确定的了。当该过程俺正向演进时，弗多正好在中央。但是，当这一过程反过来进行时，最后弗多的位置却无法决定。小狗可能在道路上任何一点。
对于这一悖论的较详细讨论参见萨尔蒙发表在《科学美国人》1971年12月数学游戏部分的分析。
这个问题，以及前面介绍的关于超级任务和跑步人的悖论，是对极限概念及其它在几何级数求和中的应用的极好介绍。弗多的之字路线有点类似于一个弹跳小球的路线，在这方面学生们可能有兴趣研究简单一点的弹球问题。譬如，假定一个理想的小球从1米高落下。然后，它总是反跳到原来高度的一半。如果小球每跳一次要一秒钟，它将永远弹跳不止。但是，正如基诺的跑步人、电灯、玻璃球机器和弗多一样，小球每次跳的时间却比前次短。时间级数收敛于一个极限，这意味着小球在有限的时间内便停止了跳动，只不过它（理论上）要作无数次跳动罢了。
在上述例子中，小球跳过的距离是 米。假定小球每次总是跳到它前次高度的 。那么在它停下时，它跳过了多少距离？
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