[其它杂谈]数学悖论奇景  蠕虫与橡皮绳悖论 [第77页]

5．蠕虫与橡皮绳悖论

理解这个问题的关键是橡皮绳的伸长是均匀的。这意味着蠕虫随着拉伸也向前挪了。

1公里有100,000厘米，所以在第一秒末，蠕虫爬行了橡皮绳长度的。在第二秒钟内，蠕虫又在长度为2公里的橡皮绳上爬了它的，在第三秒内，它又爬了3公里长的皮筋的，如此继续，蠕虫的进程表示为整条橡皮绳的分数就是：

括弧里的级数是人们熟悉的调和级数。由于这个级数是发散的，它的部分和我们要它有多大，就可以有多大。只要这个和超过100,000，上面的表达式就超过1。这就是说，蠕虫已经到达终点。此时调和级数该部分和的项数n就是蠕虫爬行的秒数．也是皮筋最后长度的公里数。

n的值近似等于e¹⁰⁰⁰⁰⁰

精确的公式及其推导方法，参见《美国数学月刊》1971年第78卷十月号，第864—870页，博斯和伦奇的文章“调和级数的部分和”。结果证明，橡皮绳其长无比，比已知的宇宙直径还长得多，同时蠕虫要爬到终点的时间也无比漫长，它比已知的宇宙年龄还要远久得多。自然，这个问题说的是一条理想的蠕虫，它可以表示为在一条理想的橡皮绳上的一个点。若是条真的蠕虫，那末在还没有怎么开始这段旅程就早已死了，同时，若也是真的橡皮绳则需把它拉得细到它只能由分隔的分子连成这样难以想象的程度。

不管这个问题的参数，即橡皮绳的长度，蠕虫爬行的速度、以及这根橡皮绳每单位时间拉长多少，蠕虫总是能在有限的时间内到达终点。真正的问题是在改变橡皮绳拉长的方式时产生的。例如，如果橡皮绳按几何级数拉长，譬如每秒钟拉长一倍，会出现什么情况？这时，蠕虫就再也不能达到终点了。