数学悖论奇景: 病态曲线
11．病态曲线
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M：雪花曲线是另一种奇妙的曲线，但它不是不可能曲线。我们从这圣诞树——它的形状是等边三角形——开始来画这条曲线。 |
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M：这位小天使把这蓝色的等边三角形每边分成三等分，再在每边中间的三分之一部分向外各画一个粉红色的等边三角形，这样就做成了一个六角星。 |
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M：她再在六角星的每边上用同样的方法向外画出桔黄色的更小的等边三角形。曲线变得越来越长，开始象一个雪花了。 |
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M：再重复一次这个过程将使曲线变得更长，更美丽。 |
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M：按照这个方法不断画下去。你愿意曲线有多长，它就可以有多长。虽然它可以画在一张邮票上，但它的长度可以达到从地球到最远恒星的距离！ |
雪花曲线是最美丽的“病态曲线”之一，这些曲线所以被称为“病态”是因为它们的怪诞性质。这些曲线构成一个无限集合。如果上面这个画雪花的过程无限继续下去，其长度将趋于无限大，但它却始终是围在一个有限的区域里。这就是说，一步一步画出的每条曲线的长度构成一个发散数列，但是每条曲线所围的面积却构成一个收敛数列。它收敛到第一个等边三角形面积的8/5倍。另外的一个奇怪性质是：在极限曲线上的任一点都不能确定它的切线。
研究雪花曲线是巩固极限概念的一个好方法。可以把下面这个题目做为课堂练习，即假设第一个等边三角形的面积是1，证明极限曲线所围面积是8/5。
我们还建议做下列几种辅助活动：
（1）画出“反雪花”曲线，即向里画三角形，而不是向外画，在这同时把新画三角形的底线擦掉。这样第一步画出的是汇集于一点的三个菱形，有点象螺旋桨的叶片。把这个过程无限继续下去，这时所构造出的极限曲线其长度也是无限大吗？它也围在一个有限的区域里吗？
（2）研究以其它正多边形做基础用类似方法四曲线所产生的结果。
（3）研究在每条边上画多于一个正多边形所产生的结果。
（4）研究上述各种构造方法在三维空间的类似结果。比如说，在一个正四面体的各面上再做一些小正四面体，其极限物体的表面面积是无限的吗？它所包围的空间具有有限体积吗？
下面列举的是一些有用的参考资料：《数学和想象》，343页至356页，爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼著；《雪花曲线》，布鲁斯·W·金著，载于《数学教师》杂志，第57卷，1964年4月号，219页—222页；《范·科克曲线的推广》，乔尔·E·史尼德尔著，载于《数学杂志》第38卷，1965年5月号，144页—147页。
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