数学悖论奇景: 未知的宇宙
12．未知的宇宙
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M：如果一个宇宙飞船发射出去以后始终沿着一条直线飞行，它将离开地球越来越远吗？爱因斯坦认为，未必如此，它说不定会回到地球上来！ |
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M：为弄清爱因斯坦这一论点让我们者一看这个可怜的“点世界”里的居民。他只生活在一个点里，他的宇宙没有维数。 |
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M：“线世界”里的居民生活在维数为1的线上，这正象爬在绳子上的蠕虫一样。如果绳子是无限长的，那么蠕虫可以朝着线的任意一端永远爬下去。 |
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M：但是，如果绳子象圆周那样是封闭的，它就成为一个无端点的线，但它的长度是有限的，不管蠕虫在绳上向那个方向爬，它总要回到它原来的出发点。 |
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M：“面世界”里的居民住在二维空间的面上。如果他的宇宙是一个无限的平面，他可以沿着此平面上的任何方向永远走下去。 |
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M：如果这个面是象球面那样的封闭曲面，它就成为一个有限的、无边界的曲面了。不管这个世界的居民沿着此曲面上哪个方向走，只要走的路线是直的，他还会回到原来出发的点上。 |
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M：你和我都同是“体世界”里的居民，我们生活在三维空间里。也许，它在所有各个方向上都是无限的。 |
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M：但也有可能象爱因斯坦所想象的那样，我们的“体世界”在从更高维的空间里来看它时却是弯曲的，构成一个有限的、但却无边界的宇宙。一艘宇宙飞船在这个宇宙里沿总最直的线路飞行将必然会回到它的出发点。 |
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M：二维世界的居民在球面上绕圈运行，这就好象在一个没有扭曲的闭合带子上运行一样。如果他的心脏处在身体的某一侧，那它将永远处在同一侧。 |
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M：但是如果他绕着缪毕乌斯带运行，奇怪的事情就发生了。带上的扭曲部分使它翻个筋斗，他回到原位置时，心脏已移到身体的另一侧！ |
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M：如果我们所处的三维空间是封闭的，它当然也可能象缪毕乌斯带那样扭曲。这时，如果一个宇宙飞行家在这样的闭空间里环行一周，他回来时已是一个反向的人！ |
天文学家迄今还不知道我们所处的宇宙空间是开放的，还是象爱因斯坦所猜想的那样是封闭的，这完全依赖于在我们的宇宙中倒底有多少物质。按照广义相对论的理论，物质在空间里的存在会导致空间的“弯曲”，且当物质数量增加时，空间曲率也成比例地增加。今天，大多数的宇宙学家认为：宇宙中物质的数量还不足以产生使空间封闭的那么大的曲率。但这个问题还没有最后解决，因为宇宙中物质的密度现在还不知道。要想详细了解这个问题，请看任何一本相对论成宇宙学方面的通俗书籍。
现在还没有证据证明我们的宇宙空间象缪毕乌斯带那样是扭曲的。但是宇宙学家总是喜欢想象出宇宙的各种不同模型。在有些模型中，空间是扭曲的。在向学生说明二维世界的居民绕缪毕乌斯带一周如何被“镜象翻转”了的时候，很重要的一点就是要认识到这个带子的厚度为零。缪毕乌斯带的纸制模型实际上是个立体，因为它有厚度。我们必须认定：真正的缪毕乌斯曲面是没有厚度的。
画在缪毕乌斯带上的图形就象用墨水在纸上画图形且墨水已渗透到纸的另一面那样，图形是存在于纸的两面上的，而不仅仅是在一面上。图形已“嵌入”到曲面里。当图形绕缪毕乌斯带运行一周后回到出发位置时，就被翻转了。当然如果绕着带子再运行一圈又使它恢复到原来的样子。同理，宇宙航行家在一个扭曲的宇宙旅行一圈，他就被镜象翻转了，如果再进行第二次旅行，他又被矫正过来。
如果学生们对缪毕乌斯带的奇妙性质感兴趣，他们一定愿意研究另外两个具有同样奇妙性质的曲面；克莱因瓶和射影平面，它们和缪毕乌斯带一样都是单面的，与其不同的是它们没有边界，它们象球面那样是封闭的。克莱因瓶与缪毕乌斯带有密切的关系，一个克莱因瓶可切成两半，得到两个互为镜象的缪毕乌斯带。一个“嵌进”克莱因瓶或射影平面的二维世界的居民在曲面上行走一圈以后就会被“镜象翻转”了（参看《科学美国人数学游戏第六集》一书的第二章）。
有些学生会喜欢读H.G. 威尔斯所写的《平面人的故事》一书。这是一本最有名的科学幻想小说，写的是一个人在外部空间里被翻转了，归来时，他的心脏已经在身体的右侧（这个故事收在威尔斯的《科学幻想故事二十八则》一书中）。
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