[其它杂谈]数学悖论奇景  三张卡片的骗局 [第26页]

3．三张卡片的骗局

这个卡片游戏是沃德·威弗设计的，沃德是著名的数学家，信息论的建立者之一。他曾在1950年10月《科学美国人》关于“概率”一文中介绍过这个内容。

下面是对这个赌戏的真实情况的—种说明。三张卡片中有两张是两面圈点一样的。如果你从帽子中随机地取卡片，那么你得到这种两面圈点一致的卡片的概率是2/3。因此，抽出的卡片与上面圈点相同的概率就是2/3。

卡片游戏是称为伯特纳德箱的悖论的翻版。在伯特纳德以后，一位德国数学家将它写进一本书中，于1889年发表。伯特纳德设想有三个箱子。一个装着两枚金币，一个装着两枚银币，一个装一枚银币一枚金币。三个箱子混杂，然后随意取一个箱子，显然这个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3。

然而，假定我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，看到它是金的。这就是说，箱子里的不可能是两枚银币。因此，它必然是两枚金币；或一枚金币，一枚银币。由于这两个箱子中任何一个被选中的机会相等，看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了1/2。如果我们取出的是银币，也会得出同样的结论。

取出箱中的一枚钱币看一看，怎么就改变了箱中装两枚同样钱币的概率呢？显然这是不可能的，这样就说明了上面错在哪里。

这里有一个相关的悖论学生们是会觉得很有意思的。如果你抛掷三枚硬币，它们掉下来后完全一致的概率是什么？三个当中至少有两个是—样的，另外那个要么与这两个一样，要么就是不同的。由于它出现这两种情况的机会均等，故它与另两个硬币是否一致的机会就是相等的。这样，看起来所有三个硬币都一样的概率就是1/2。

我们只要将八种可能的情况列表如下，就可表明这种推论是错的：

H H H    T H H

H H T    T H T

H T H    T T H

H T T    T T T

看得出来，只有两种情况是三个硬币都取同样花纹。因此正确的概率应是2/8=1/4。

另一个出人意料的小悖论也是由于在考虑所有可能的情况时发现错误而引起的。说的是一个男孩有一个玻璃球，一个女孩有两个玻璃球。他们向竖在地上的一根立柱弹球，玻璃球最接近立柱者胜。假定男孩和女孩技巧完全相同，测量也足够精确而不会引起纠纷。女孩赢的概率是什么？

观点一：女孩弹两个玻璃球，男孩只弹一个，因此女孩赢的概率是2/3。

观点二：把女孩的玻璃球叫做A和B，把男孩的叫做C，就有四种可能的情况：

（1）A和B都比C更接近立柱。

（2）仅A球比C球接近立柱。

（3）仅B球比C球接近立柱。

（4）C球比A和B都接近立柱。

这四种情况中三种都是女孩赢，所以女孩赢的概率是3/4。

为了解决这个问题，我们列出全部可能的情况，它是六种而不是四种。按三个球接近立柱的次序，使最近者在前，列表如下：

A B C

A C B

B A C

B C A

C A B

C B A

在六种情况中有四次是女孩赢。这就证明了第一种观点对，女孩赢的机会是4/6＝2/3。