数学悖论奇景: 四只猫的性别
2．四只猫的性别
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M：很容易作出错误的概率计算。这儿有两只猫已住在一起。 |
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V1：亲爱的，我们的新房舍中有几只猫？
V2：你不会数呀？四只，你这个笨蛋。
V1：几只雄猫？ |
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V2：很难说，我也不知道呢。
V1：四只猫都是雄的不太可能。 |
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V2：也不可能四只都是雌猫。 |
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V1：也许只有一只是雄猫。 |
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V2：或许只有一只是雌猫。 |
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V1：这也不是很难想出来的，亲爱的。每只猫是雄是雌的机会是一半对一半，所以很明显，最有可能的结果是两个雄的，两个雌的。你还不能把它们算出来吗？ |
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M：猫先生的理由对不对？
让我们来检验它的理论。用B表示雄猫，用G表示雌猫，这就很容易列出十六种同等可能的情况。 |
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M：在十六种中只有两种是所有猫都具有同样性别，所以，这种情况发生的概率是2/16，或1/8。猫先生认为这种情况具有最低概率是对的。 |
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M：现在，让我们检验一下2—2分配，猫先生认为这是可能性最大的一种。这种情况有六次，所以其概率是6/16，或3/8。这显然比1/8高。猫先生也许是对的。 |
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M：可是，我们还有一个更大可能的情况要考虑：3—1分配，由于这种情况有8次，其概率是8/16，或1/2。这就比2—2分配高。我们大概是搞错了吧？ |
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M：如果我们算出的概率是对的，它们相加应等于l。加一加果然为1。这就向我们说明，三种情况都会发生，猫先生猜错了，最可能的情况是3—1，而不是2—2。 |
一家四个孩子最可能的情况是三个孩子是一种性别，另一孩子是另一种性别，而不是两个男孩，两个女孩，这一点使大多数学生感到惊讶。在班级里，用4个硬币反复抛掷很容易作出试验。将每次抛掷结果记录下来。在抛了100次之后，差不多有50次是3—1组合，而2—2组合大约是33次。
在做了这个练习之后，你也许希望给你的学生一项任务，决定在一个有五个孩子或六个孩子的家庭中不同性别组合的概率。由于这是令人乏味的工作，当他在列出所有组合时，你再向他介绍节省时间的公式就是最好的时机。
—个类似的问题是关于一手桥牌中四种花色的最可能分布，其答案也同样违反直觉。最不可能的情形自然是拿到同一花色的13张牌（你拿到这手牌的可能性是158753389899分之一）。可是最可能出现的情况是什么呢？
即使是很有经验的桥牌手也往往猜想答案是4，3，3，3。这就错了。最可能的一手牌是4，4，3，2。你可以期望这类牌大约要五圈拿到一次；而4，3，3，3这种分布则大约要每九圈或十圈才能拿一次。就是5，3，3，2这种分布也可能是每六圈拿一次。奥斯瓦尔德·雅可比写的《怎样预测手气》中给出了各种可能的花色分布概率表。较有才能的学生用袖珍计算器可以把证实雅可此的预测表当作一项有趣的工作。
在报纸上，你是不是会看到某人得到一手完满的桥牌的故事。得到这种牌的可能性小到要用天文数字来表示，因此故事几乎肯定是假的，要不，在玩牌人当中就有人着实在搞鬼，他偷偷地把牌安排好了。要不然就可能是刚拿出一副新牌，某人无意地作了两次完满的洗牌。完满的洗牌就是把这副牌严格对半分，然后两边的牌一张一张地交叠。洗两次后，这副牌就是四种花色顺次交错。这时无论怎样发牌，都得到四手完满的牌。
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