数学悖论奇景: 你属于哪一宫
5．你属于哪一宫
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M：这四个人第一次见面。如果他们四个至少有两个人属于黄道十二宫中的同一宫，这岂不是非常巧的偶合吗？你也许以为，这是非计凑巧的事，而实际上这种巧合在十次中就会大约发生四次。 |
假定每个人都以相同的概率出生在十二宫之一，那么四个人中至少有两个人属于同一宫的概率是多少？
让我们用一副牌来模拟这种情况。先抽掉四张K。这副牌现在就是四种花色，每种12张。我们用一种花色代表一个人，每个点数代表一个宫。如果我们从每一种花色中任抽一张牌，四张牌里至少两张点数一样的概率是多少？很明显，这就和四个陌生人中至少两人有同样的黄道宫的概率一样。
解决这个问题最简单的方法是先算出没有两张牌的点数相同的概率，再把它从1中减去，就得到我们所要的概率。
如果我们考虑两个花色，譬如说黑桃和红心，由于一张红心和十二张黑桃中的一张配对，只有一对是同点数的，故点数不同的概率是11/12。而一张梅花与黑桃、红心这两张牌的点数都不同的概率就是10/12，一张方块又不同于这其余三张脾的概率是9/12。这三个因子的乘积就是四张牌的点数彼此都不相同的概率，结果是55/96。用1减去这个数得到41/96，大约是4/10，它也既是四个人中至少有两个是属于同一宫的概率。这差不多是1/2，因此这种巧合毫不足怪。
这肯定是著名的生日悖论的翻版。如果有23个人无意中碰到一起，至少有两个人的生日是同一天的概率稍小于1/2。其计算过程类似于上面的黄道宫的算法，不过这里相乘的有22个因子：
乘积是0.5073+，或者说稍大于1/2（所求概率则稍小于1/2）。用小型计算器计算这个数是一个再好不过的练习了。如果人数多于23个，则生日相同的概率会迅速升高。如果你们班的同学有40人，那么至少有两人生日一样的概率是7/10。如果有100个学生，则至少有两人生日相同的概率比之谁的生日不一样的概率是3000000比1。
建议作一些实际练习：
1）美国有几位总统的生日相同？有几个逝世的日期—样？这些结果与理论预计比较如何？（詹姆斯·波尔克和沃伦·哈丁的生日都是11月2号。托马斯·杰斐逊、约翰·亚当期和詹姆斯·门罗都逝于7月4日）。
2）一组人，若要求其中至少有两人生日在同一个月的概率大于1/2，这组人的人数最少是几？（回答是5。此时有两人生在同一个月的概率是89/144，大约是0.62）。
3）一组人，若要求至少有两人生于同一个星期数的概率大于1/2，那么这个组最少要由几个人？（回答：4，此时相应的概率是223/343，大约是0.65）。
4）若要求你所遇到的人中至少有一人和你的生日在同一天的概率大于1/2，你最少要遇到多少人？（回答：253。不是183，如果每个人只有一个生日而不会还有一个的话，就是如此。）
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