数学悖论奇景: 可内外翻剥的奇妙轮胎
7．可内外翻剥的奇妙轮胎
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M：拓扑学被称做橡皮几何，因为它是研究图形被拉伸和扭曲后不变的性质。 |
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M：有一种形如轮胎的迷人的曲面圆环。设想一个用薄橡皮做的轮胎，它上面有一个大孔，你认为能从这个孔把它的里面翻到外面来吗？这的确是可以做到的，但是很困难。 |
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M：在把圆环翻转之前，设想我们按左边画面的办法把一个小橡皮圈粘在它的内表面，又把一大橡皮圈粘在它的外表面。这两个橡皮圈显然没套在一起。 |
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M：这就是圆环被翻转后的样子。这时这两个弹性圈已套在一起了！但是不经过剪开和粘上的过程就把两个圈套在一起是不可能的，所以一定是哪里出了错。但是错在哪里呢？ |
我们确实可以通过圆环上的一个孔把它的里面翻到外面来，但这并没有使那两个橡皮圈套在一起，其理由是圆环翻过来以后，两个橡皮圈都已改变了位置，小圈被拉伸成大圈，而大围被压缩成小圈，所以它们还是像从前那样没有互相套着。产生这种错误结论的关键在于画家特意把圆环翻转后的样子画成我们可能想象的那样，而没有按实际的情况画出。
用橡皮做的圆环模型，例如一个车轮的内胎，是很难通过它上面的一个扎把它翻过来的，因为在这过程中橡皮必须经过大幅度的拉伸。如果使用一个布制模型就很容易做到这一点。把一方块布对叠起来然后把两个相对的边缝在一起，这就成了一个烟筒。在另一个方向上再把这个筒对叠起来，把筒相对的两头沿着它们的边缘缝起来，就做成一个圆环模型了。如果把它摊平，则呈方形。为翻转方便起见，所开的“孔”是位于外层布上沿水平方向剪开的一个长口。
通过这个开口很容易把这布制圆环翻过来。翻过来以后，它和以前具有同样的形状，但这时那个长口已成为竖直的了，布面的纹理也都转动了90°。换句话说，原来在某个方向上环绕圆环的一条线，现在已在另一个方向上环绕圆环。为了更清楚地看出纹理的旋转如何导致两个弹性圈位置的互换，你可以把沿着某个方向环绕圆环的圈用墨水涂上一种颜色，而另一方向上的第二个圈涂上另一种颜色。把圆环翻过来以后，你就会看到两个圆圈互换了位置。
要想象出在翻转过程中间环变形的具体过程是不容易的。我们可以在下列书刊中看到一步步描绘圆环翻转过程的一系列面面：1950年《科学美国人》一月号阿尔伯特·塔克尔和赫伯特·贝莱的文章《拓扑学》；生命科学文库《数学》一书的第179页。
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