[其它杂谈]数学悖论奇景  兰迪先生的奇异地毯 [第51页]

5．兰迪先生的奇异地毯

这个古老的故事是这样的令人惊奇和难以解释，值得我们化费一些时间动手按照所说的方法做一做。我们在作图纸上画一个正方形．把它剪成四块，重新安排一下，拼成一个长方形。除非这个图做得很大并且作图和剪裁都搞得十准确，人们是不会发现拼接成的长方形在主对角线附近发生了微小的重叠。正是沿对角线的这点不完美的叠合导致丢失了一个单位的面积。如果学生们不相信这一点的话就让他们计算一下长方形对角线的斜率以及拼接前各片相应边的斜率，再把它们加以比较就会清楚了。

如果先画出上边所说的这个长方形，按图示把它剪成四块，再拼成正方形，这时这个正方形又会怎样呢？这是在课堂上学生们可能希望探讨的问题。

上文涉及到四个长度：5，8，13，和21，我们会认出这是一个著名的数列中的四项。可以让学生找出这个数列各项的构成规律。显然，这就是有名的菲波拿齐数列，它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。

学生们可使用这个数列的其它相邻四项来试验上述过程，无论选取哪四项，他们都会发现所作出的正方形和长方形的面积是不会相等的，但有时长方形比正方形小一个单位面积，有时长方形此正方形大一个单位面积。我们应该进一步确定，什么时候在拼接成的长方形中失去一个单位面积，也就是说在长方形的对角线附近有个呈菱形形状的重叠，什么时候长方形又会多得一个单位的面积，也就是说在拼接成的长方形对角线上出现一个菱形的空隙。

对这个菲波拿齐数列多做几次上述的试验，有人就会凭直观得出菲波拿齐数列的一个重要性质：这个数列任一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减l。用公式表示，则为：

t_n²=(t_n-1*t_n+1)±1

左边t_n²是正方形的面积，右边(t_n-1*t_n+1)±1是长方形的面积。当n从小到大依次取正整数时，上式中的正负号交替出现。如果一数在该数列中的位置数，即它的项数是奇数（如上面数列中的2，5，13等），则这个数的平方较前后相邻两偶数项之积多1；反之，偶数项的平方较前后相邻两奇数项之积少1。知道了这一事实，我们就可以预见由正方形剪接而成的长方形是多得了一个单位面积还是丢失了一个单位面积。

上面的这个菲波拿齐数列以1，1两数开始，广义的菲波拿齐数列可以从任意两数开始。用另外的一些菲波拿齐数列做上述试验，学生仍将会发现一些新东西。比如说，用数列2，4，6，10，16，……做试验，就会多得或丢失四个单位面积，数列3，1，7，11，18，……的“得”或“失”是五个单位面积。

设a，b，c是一个广义菲波拿齐数列相邻的三项，以x表“得”或“失”的数字，则下面两式成立：

我们可以用任何一个设想的得失数来代式中的x，用任何一个数来代式小的正方形边长b，然后解上面的联立方程就会求得a和c的值，当然这样求得的值不一定是有理数。

学生们一定会喜欢这样一个十分有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？

为了回答这个问题，令第二个方程中x等于零，解这个方程组，用a表示b，则得到唯一的正解是

上式中的恰是著名的黄金分割比，通常用Ф来表示。它是一个无理数，等于1.618033……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的菲波拿齐数列是

1，Ф，Ф+1，2Ф+1，3Ф+2，……

这对学生来说是做根式演算的一个很好的练习。

只有用上面这个数列相邻两项表示的长度来分割正方形才会得到本段所述的几何悖论的另外一种形式：长方形和正方形的面积相等。如要更多地了解黄金分割比率以及它与上述正方形—长方形几何悖论之间的关系，请参看《科学美国人》杂志数学之谜和数学游戏第二集一书中关于黄金分割比率的那一章。

两个全等正方形怎么会有不同的面积呢？在兰迪的第二个地毯悖论中，所丢失的面积是一个实实在在的窟窿。与前一问题不一样的是，这里的两个图形在各自的那条斜线上都是完美地接合在一起，并无重叠和空隙。学生们能够找出那个不见了的单位正方形到哪里去了吗？

为了帮助学生们找到答案，可建议他们做两个全等的、上面没有孔洞的正方形，做得越大越好。把其中的一个按图中的式样精确地剪成所需要的五块，把它们重新安排一下拼成那个带孔的图形，最后把它放到未经剪切的正方形上边。待两者的上边和两侧边都重合后，他们就会发现那个带孔的图形不是真正的正方形。它实际上是个长方形，比正方形高1/12分米，于是它的底部就多出一个12分米×1/12分米的窄带，其面积恰好与地毯上的孔洞面积一样。

这样解释了那个正方形的一个单位是如何消失的，然后学生们就可以再设法找出正方形高度增加的道理。其秘密在于：在没有孔洞的那个正方形的分割图形中，直角三角形斜边上那个顶点并不是整数网格点[*]。学生们发现了这点之后，他们就可以自己设计出许多各种各样的正方形，使得在拼成长方形后，“多得”或“失去”的多于一个单位的面积。

上述这一奇妙的事实以“卡瑞正方形”的名字为大家所熟知，这是因为它的发明者是一个名叫保罗·卡瑞的业余魔术师。这种悖论还具有好几种其他表现方式，三角形也是其中之一。学生们要想探讨卡瑞正方形或卡瑞三角形，则需阅读马丁·戈德纳所著《数学，魔术和奇迹》一书的第八章和《科学美国人》杂志中的《数学新分支》一书的第十一章。