数学悖论奇景: 一块钱哪里去了？
6．一块钱哪里去了？
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M：一个唱片商店里。卖30张老式硬唱片、一块钱卖两张，另外30张唱片是一块钱卖3张。那天，这60张唱片全卖完了。 |
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M：30张一块钱两张的唱片收入15元。30张一块钱3张的唱片收入10众，总共是25元。 |
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M：第二天商店老板又拿出60张唱片放到柜台上。
老板；何必要自找麻烦来分唱片？如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖3张，何不把60张唱片放在一起，按两块钱5张来卖？这是一样的。 |
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M：商店关门时，60张唱片全按两块钱3张卖出去了。可是，商店老板点钱时发现只卖得24元，不是25元，这使他很吃惊。 |
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M：你认为这一块钱到哪里去了？是不是有个伙计偷了？是不是给顾客找错了钱。 |
这条悖论是建立等式和不等式性质的极好例子。正如上面的故事所表明的，那个老板觉得把两种唱片放在一起，每5张卖两块钱，和分开来一种卖两张一块钱，一种卖3张一块钱是“同样的”，这就搞错了。没有任何道理能说明两种卖法应该收入同样的钱数。上面的例子中两者之间的差很小，以致于看上去好像那一块钱是不留意造成的，或者是遗失了。
如果考虑一个同样的问题，但价格稍为不同些，大家就能更清楚地看出问题了。假定贵一些的唱片卖两块钱3张，或者说是每张唱片的价格是2/3元。较便宜的唱片卖1块钱两张，或者说每张l/2元。老板把这两种唱片混合，卖1块钱5张。假设每种有30张，如前面一样，分开来卖，得到35元，可是合起来卖60张共得66元。这样老板就多得了1元，而不是少了1元！
这时，我们就需要对此悖论作一下代数分析了。我们假设价格较高的唱片是每张卖b/a元，价格较低的唱片每张卖d/c元。两个分数都要化简为最简分数。例如上面唱片中的例子，贵的唱片是一块钱两张，即每张1/2元；便宜的唱片是一块钱3张，即每张1/3元，故a=2，c=3，b=d=1。
假若所有唱片都各以两种不同的价格卖，则一张唱片的平均价格是b/a和d/c之和的一半。如果两种唱片合起来，按一个价格卖，那么。a+c张唱片就卖b+d元钱，一张唱片的平均价格就是 。显然，两套唱片合起来要收入同样多的钱数就必须是
令人吃惊的是，这个等式只有在a=c时成立，而与b和d的值无关。如a>c，则两套唱片合起来交可得的钱多一些（自然起在的条件下，如我们这个说明中的例子，这里a=3，c=2)。如果a<c，则合起来卖就要赔钱（如上面唱片所举例子）。
这个例子告诉我们，当看到不同种类的货物联合销售时，要判断我们是否真的买到了便宜货并不是一件轻而易举的事。
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