数学悖论奇景: 无所不在的9
4．无所不在的9
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M：数9是具有很多神秘性质的数。你知道吗，9隐藏在每个著名人物的生日中？ |
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M：请看华盛顿的生日。他出生在1732年2月22日。把这些数字按美国习惯写成一个数2221732，现在，把这个数中的数字重新排列，就可以构成任意一个不同的数。用较大的数减去较小的数可得一个差数。 |
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M：把差数的各个数字加起来，在这个实例中得和36。3加6得9！ |
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M：如果你对德·高尔、约翰·肯尼迪或者任何一个著名的男人或女人的生日作上述计算，你最后都可得到9。是不是著名人物的生日和9有什么神秘的关系？ |
一旦弄懂了上面这个悖论说明的计算程序，就可在班级里试试让每个学生把自己的生日作这一计算。结果，每个人最后都得到9。
如果把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得一个和，再继续作数字和，直到最后的数字和是个位数为止，这最后的数称为最初那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以9的余数，因此这个计算过程常常称为“合九法”。
求一个数的数字根最快的方法是在加原数的数字时把9舍去。例如，最初两个数宇是6和8，二者相加成14，再将1加4，结果是5。换言之，舍去9以后的数字和若多于—位数则把两个数字再加起来，计算这个和。最后的数就是要求的数字根。可说数字根等价于原数对9的模，简称模9。由于9除以9余零，所以在模9算法中，9和0是等价的。
在发明计算机之前，会计员常常用模9算法来检查很大数目的和、差、积和商。譬如，假若我们用A减B得到C，这个结果可以作下面检查：把A的数字根减去B的数字根，看看差是否对得上C的数字权。如果原来算的差是对的，那么数字根的差也对得上。这并不能证明原来的计算正确，可是如果数字根的差不等，则会计员就知道他算错了。如果数字根能对得上，则他计算正确的可能性是8/9。这种数字根检验方法可同样应用于数字的加、乘和除上。
现在我们就可以弄懂上述生日算法的奥妙在哪里了。假定一个数N由很多个数字组成。我们把N的数字打乱就得到—个新的数N’。显然N和N’有着同样的数字根。因此，如果我们把二者相减就会得0，这和9是一回事（在模9算法中）。这个数，0或者9，必然是N和N’之差的数字根。简言之，取任意一个数，把它的数字打乱重排得另一数，将二者相减，所得的差的数字根就是0或9。
结果为0只是在N和N’相等时。因此，应当提醒学生，在他们用自己生日进行计算时，要保证重排的数可以得到一个差数。只要两个数不等，其差的数字根就是9。
用这个无所不在的9可以玩出很多数字魔术来。例如，一个学生在老师背转身去时写下一个数，所以老师看不见学生写的是什么。然后学生把那个数的数字打乱排成另一个数，计算这个数与原来那个数的差（大数减小数）。然后老师就让学生把差数中一个非零的数字划掉。这时，学生把余下的数字按任意顺序高声读出。老师仍然背转着身子，却能说出划掉的数字是几。
这个魔术的技巧很明显。那两个数之差应该有数字根9。当学生划掉一个数字后，并高声读出其他数字时，老师只要去掉9把其他数字心算加出来。学生念完时，老师用9减去最后的数字，结果就是学生划掉的那个数字（如果最后算得9，学生划掉的就是9）。
上述魔术和生日之谜将大大激发学生学习模算系统的兴趣。
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