数学悖论奇景: 女朋友的烦恼
5．女朋友的烦恼
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M：你听说过一个青年无法决定看哪个女朋友好的事吗？他有两个女朋友，一个住在东城，一个住在西城。他每天不定什么时候要去地铁车站一次．坐上最早碰到的列车。 |
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M：向东的列车和向西的列车都是十分钟到一次。 |
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M：有一天晚上，东城的姑娘说：
V1：我真快乐，你十天里就来看了我九次。 |
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M：又一天晚上，西城的姑娘十分生气：
V2：怎么回事？你十天才来看我一次！ |
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M：这种奇怪的现象就跟电梯的情况一样。尽管所有列车都隔十分钟到站，可是运行时刻表编得使西去的列车比东去的列车总是晚到一分钟。 |
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M：为了赶上西去的列车，这个青年必须在一分钟间隔内的某时到达，如图中画的表之的阴影部分。要赶东去的列车，这个青年就需在九分钟间隔内的某时到达，如这只表上的白色部分。显然，向西去的概率就只有1/10，往东的概率是9/10。 |
在这—结论中，两趟列车之间的等候时间由运行时刻表决定。在一连串随机事件中，两次事件之间的“平均等候时间”是通过把几次等候时间相加，再除以几得到。例如，这个青年等候东去的列车，平均时间应是4分，他要往西，平均等候时间是半分钟。
还有其他很多关于等候时间的悖论。这里有一个学生们喜欢思考的悖论。在抛硬币时，出现国徽（或字）的平均等候时间（或次数）是两次抛掷。这就是说，如果你把抛掷硬币的结果依次列出，并计算每两次国徽之间的时间（即次数），则两次国徽之间的抛掷次数（第一次国徽不算在内，但包括第二次国徽出现的那次）是两次。
假如你把很多次钱币抛掷结果列成直行表。随意在两个相邻的结果之间选一点（或许是闭上你的眼睛划一条横线）。找出这一条线上面和下面最近的国徽，并计算出从一次国徽到另一国徽之间包括的抛掷次数。如果你将这一工作重复多次，国徽之间的平均次数是几？
根据直觉，答案似乎是2次。实际上却是3。理由就跟那个青年老是赶上东去的列车一样。两次图案之间有时抛掷次数多，有时次数少。你随便划的线就像那个青年在任意时间到达地铁车站一样。这条线划在抛掷次数多的两国徽之间比次数少的国徽之间具有更多的可能性。
如果我们另用一种算法，即从划出的线向两边数，那么，由于钱币抛掷的结果与它以往的抛掷结果无关，于是从划线的地方往上数或往下数，按照上面平均等待时间（次数）的概念，可知要平均扔两次才出现国徽，故两个国微都算在内时，抛掷次数为2*2=4次。但我们规定是只算一个国徽，故应为4-1=3次。
将此问题与轮盘赌比较将得出更惊人的结果。轮盘上有38个数，包括0和00在内。对于某个给定的数，比如说7，平均等候时间是38次旋转。可是，如果你把旋转结果依次列出，在上面任意打点，那么该点所在的最挨近的两个7点区间中的平均点数就不是38，而是2*38-1=75次。
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