数学悖论奇景: 镜子的魔力
3．镜子的魔力
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M：镜子是个更奇妙的东西。现么梯姆斯和丽贝卡正在一个晚会上做客，晚会上每个人都戴个名片。 |
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丽贝卡：多么奇怪的镜子啊，梯姆！你看，它把我的名字弄反了，可是你的名字却一点儿也没变！ |
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M：镜子好象只能使左右颠倒，为什么它不能使上下也颠倒呢？这难道不是很奇怪吗？ |
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M：实际上，只有当一条线垂直于镜面时，镜子才使这条线颠倒过来。正因为这三个小球在一条与镜面成直角的线上，所以它们在镜中象的顺序就倒过来了。 |
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M：如果你站在用镜子做的地板上，你身体的上下轴线垂直于镜面。这时你在镜中的象前面仍是前面，后面仍是后面，但是你却上下颠倒了。 |
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M：如果你侧着身子对镜面站着，你身体的左右轴线垂直于镜面。这时你在镜中的象脑袋还是在上面，前面仍是在前面，但是你却被左右颠倒了。 |
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M：当你面对镜子站着的时候，你在镜中的象的脑袋仍是在上面，你的左面仍是在左面，可是你却被前后颠倒了。你的象中左手的位置和你走到镜面后再转过身来时左手的位置正好相反，因此我们说你被左右颠倒了。 |
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M：在这幅画面中有两个英语字单词，为什么镜子只把其中的一个词颠倒了？实际上并非如此！另一词DIXIDE也同样被颠倒了，只不过它的对称性使它倒过来以后看起来仍和原来一样。 |
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M：你能猜出当两个镜面垂直放置时会发生什么现象吗？这时镜子里的象将与平常镜中的象不同，它是完全没有被镜面颠倒的象！这位姑娘此时所看到的她自己正和别人所看到的她完全一样！ |
因为梯姆斯（TIMOTHY）这个名字的每个字母都有个竖直的对称轴，所以它在镜中的象与原来一样，但在丽贝卡（REBECCA）这个名字中只有字母A具有竖直对称轴，结果这个名字在镜中的象只有A没变，其它字母都被颠倒了。
为什么镜子会使左右颠倒，而不能使上下颠倒？这和上面所述及的关于月球和硬币的问题相似，也是词义上的问题，为了作出回答，我们必须在“左”、“右”、“颠倒”这几个词的意义上取得一致意见。为了进一步弄清镜子到底做了些什么，请读马丁·格德纳所著《具有两面性的宇宙》的前三章，本书包括大量有关镜面反射对称以及它在科学和日常生活中的作用的大量材料。
与TIMOTHY中字母不一样的是，DIOXIDE中的每个字母都有一条水平的对称轴，所以如把镜面竖直放置在这个词的上边，它在镜中的象好象没有变。在CARBON中，C、B、O也有水平对称轴，所以它们在镜中的象看起来也与原来一样，但是A、R和N都没有这样的对称轴，所以上边变成下边，下边变成上边。
可以让学生找出一些在镜面成象后看来与原来一样的英语单词，这是一个很好的课堂活动。第一步是查看所有的大写字母，并把那些具有水平对称轴的列出来。它们是B、C、D、E、H、I、K、O、X。用这些字母可组成许多四个字母或多字母的词，如CHOICE、COOKBOOK、ECHO、OBOE、ICEBOX、HIDE、DECIDED、CHOKED等等，一共有数百个这样的词。
当学生把两个小镜面垂直放置并向两镜交角方向看去的时候，他就会看到自己的没有被镜面左右颠倒的象（需要稍为调整两个互相贴近的小镜的位置，使得在两镜中只看到单独一个的象为止）。如果学生眨一下左眼，镜中的象不是象想象的那样眨一下右眼，而是另外一边的眼睛眨一下，原来这时镜中象的面部左右两边已互换了位置，这是因为他的面部两边各被每个镜面反射一次、一共反射两次的缘故。
他看到自己这样的象也许会觉得很陌生，这是因为他在平常镜中所看到的自己的面部总是左右颠倒了的。虽然人的面部有个竖直的对称轴，但左右两边很少是完全一样的。当人们看到自己这个本来面目时，左右两边的微小差别就会使他感到这个象与原来的象有所不同，但是他自己也说不出不同在什么地方。他应该知道，正是这个面部才是他（或她）本人为外部世界所辨认的面部！此外，他本人往通常镜中的象对熟知他的人来说也同样会感到有些奇怪。到底哪个是真正的面部？
要想检查一下学生对这种“双镜”成象原理了解得如何，一个好办法是问一下他们，如果两镜面的邻接线是水平的而不是竖直的时候，他们会看到什么。这时所发生的两次反射将使面部上下颠倒！这个被上下颠倒的象是在普通镜面所看到的象吗？不是，它仍旧是没有被镜面左右倒置的象，如果学生眨一下左眼，那么他这个上下颠倒的象仍旧是眨一下右眼。
这些镜面游戏可作为学习变换几何中的对称和反射的极好的导引。所有上面谈到的“悖论”都可以用初等的变换理论来解释（参看哈罗德·R·雅可比所著教科书《数学——人类的魄力》第五章的第1、2、3课）。
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