数学悖论奇景: 第四章 几何学悖论
第四章 几何学悖论
对大多数人来说，甚至对大多数在中学学习数学的学生来说，“几何”一词意味着欧几里得平面几何，它是研究平面图形的性质，在这里，我们将按费利克斯·克来因在一百多年前提出更广义的观点来认识几何，这就是研究几何图形在确定的一组变换群下保持不变的那些性质。
另一方面，拓扑学作为几何学的一个分支，它是研究图形在连续变形下不变的种种性质。这里所出现的“悖论”，如编手镯、把圆环的里面翻到外面来、不动点定理，凡此种种都是关于拓扑性质的。虽然现在中学一般不讲授拓扑学，但是拓扑学中的—些概念很容易为年轻人掌握，学生们将会被这些奇景所吸引和激励。
在介绍完这一章内容之后，可对几何学的不同分支做简短介绍，每一分支都是由允许使用何种变换来定义的，这将使学生熟悉克来因的几何学概念，它是现代数学最基本、最具普遍性的概念之一。自然我们要从欧几里得平面几何和立体几何开始介绍，在这里所允许的变换是平移、反射、旋转和相似变换。然后再一步步向前发展，介绍那些越来越特殊的变换，从而逐步定义仿射几何、射影几何、拓扑学以及点集理论。
把一个不对称的图形变成它在镜中的象的反射变换，在这里之所见特别强调，是因为它提供了许多色彩斑烂的悖论，又在较新的几何研究方法中和现代科学中具有很重要的作用。镜面对称在化学中，特别是在有机化学中扮演很重要的角色，因为在有机化学里，几乎所有的碳分子的形状都对称地分为左右两半。此外它在结晶学、生物学和遗传学以及现代物理学中也具有很大的重要性。
在本章中所谈到的某些奇妙现象，虽然初看起来好象只是一种消遣而已，但是我们将会看到，它们中间的每一个都自然地把人们引向诸如群论、逻辑学、序列理论、无穷级数、极限理论等重要的数学领域。学生们可遵循这里所提出的方法以悖论为通途进入这些数学领域。一般来说，中学生们总是特别关心用圆规和直尺作图，以及一步步地证明几何定理，他们忽视了几何与其它数学分支之间的动人的联系，忽视了几何在天文学、物理学以及其它各门科学中的应用。
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