数学悖论奇景: 抽象语言
15．抽象语言
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M：语义学悖论要靠引进抽象语言来解决。关于世界的种种论述，如“苹果是红的”或“苹果是蓝的”等，都是用实际语言来组成的。而关于真实性的论述则必须用抽象语言来组成。 |
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M：在这个例子中，不存在悖论，因为句子A是用抽象语言写出的，谈论的是句子B的真实性，而句子却是用实际语言写出的。 |
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M：我们怎样才能谈论一种抽象语言的真实性呢？我们必须达到更高级的抽象语言。在这个无穷的阶梯中，每一级对下一级都是抽象语言，对上一级又是实际语言。 |
抽象语言的概念是由波兰数学家阿尔弗雷德·塔斯基提出的。在阶梯的底层是实际语言或形象语言，如“火星有两个卫星”。像真和假这种词不在这种语言中出现。为了谈论用这种语言表述的句子真和假，我们必须使用抽象语言，即比所说明的语言更高一级的语言。抽象语言包括了所有的形象语言，但它比形象语言“更丰富”，因为它可以谈论形象语言的真实性。我们引用一个塔斯基喜爱的例子：“雪是白的，”这是用形象语言说明的。而“‘雪是白的’这句话是真的”就是用抽象语言说的。
我们能否谈论一句抽象语言的真假性呢？能，不过仅当进到更高一级的抽象语言，并用更高级和更丰富的，包括了所有它以下的形象语言的语言说话时才能做到。
这个阶梯的每一级对它紧上面那一级而言都是形象语言。而每—级，除开最底下那级外，对它紧下面那级而言，又是抽象语言。这个阶梯，我们愿意向上延伸多少就可以有多少。
这个阶梯的头四级是：
A．任意一个三角形的内角和是180°
B．句子A是真的。
C．句子B是真的。
D．句子C是真的。
注意，语句A简单叙述了几何客体的定理。关于定理的证明在几何教科书中则是用抽象语言B写的。关于证明理论的书又是用语言C写的。幸好，数学家很少需用比C更高级的语言。
刘易斯·卡洛尔在一篇文章中饶有趣味地讨论了这个阶梯在理论上的无限性。题为“乌龟对阿基里斯说了些什么”，后来重印时题为“刘易斯·卡洛尔的魔术。”
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