[人物音乐] 为什么有很多“不可能三角”，却很少听人说到“不可能四角”或者“不可能五角”？

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为什么有很多“不可能三角”，却很少听人说到“不可能四角”或者“不可能五角”？
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不可能三角
为什么有很多“不可能三角”，却很少听人说到“不可能四角”或者“不可能五角”？

我感觉主要是不好画，你知道四元素韦恩图怎么画吗？
三元好画好理解，中间那个就是不存在。
如果你沿着三元素的思路画四元素，然后把中间的标记为不存在，那么会有个问题，这并不包含所有元素的交。

你没法表示 AC 的交和 BD 的交，也就是没法表达两种对立元素同时拥有的情况。

正确的画法如右图，这东西才能表达所有元素的交，然后再分类讨论不可能同时拥有的四个元素的排列组合。

然后可以编一个编程不可能四角：
极致性能：运行速度极快，延迟低，吞吐量高，资源占用少。简洁优雅：代码逻辑清晰，易于理解和维护，菜鸡能快速上手，开发和迭代速度快。绝对可靠：在任何情况下都能正确运行，没有 bug，能抵御错误输入和外部系统故障，具备极高的稳定性和安全性。高度灵活：易于扩展和修改，能够轻松适应未来的需求变化，模块化程度高，可配置性强。
五元素就更复杂了，得画成灯泡形状，而且排列组合数量也太多了点，分类讨论脑子要炸了。

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因为不能“面面俱到”是司空见惯的现象，所以，“不可能四角”，“不可能五角”并不能引起人们的兴趣。
而对立的事物也很常见，所以“不可能两极”也不是什么特别现象。因此最多见的就是“不可能三角”。
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这不是几何或者数学问题，是媒体传播社会学问题。
要表达“不可能四角”很简单，一个四面体就可以，想表达任何三个条件可以同时满足，但不能满足四个条件，那就是随机取三点必然共面，但第四点如果不符合特殊条件就不行。
如果想表达其中两个条件组合，排斥第三个条件，那就是在连线上标注。
如果想表达其中一个条件单独满足，同时不考虑其他三个条件，你就选这个点。

五维互斥信息图也有，因为欧拉多面体包括正20面体，可以切分成五块完全相似的单元，涂色之后互斥关系一目了然。

但是，为什么没有呢：
这里要推销我的媒体教程《第七课，控制内容深度》：
这里剧透一小段付费内容作为广告：

抛开政治和历史问题，仅从媒体视角看，《为人民服务》也是20世纪传播最广的一篇白话文演讲稿，现在还有几亿中国人能背出来。作为资深撰稿人，毛泽东一辈子有4万多篇文章和讲话记录，《为人民服务》的影响力排到最前面，我们必须承认这是一篇在传播技巧上接近完美的作品，是媒体人必须严肃分析的案例。
具体到信息深度方面，《为人民服务》包含两个“转折点”这不是偶然。我总结十几年的经验教训，也认为传播性价比最高的信息挖掘深度就是2。下面具体解释一下。

……
如果媒体人坚持只做一层逻辑结构，多半就得买一送一，用情绪价值来补充观众的需求。所以我们经常看到单层逻辑的媒体产品拼命喊口号，加背景音乐，鼓吹种族仇恨和个人崇拜。但这些情绪价值也没什么门槛，竞争强度很大，如果你真的想和垃圾同行拉开差距，就得想办法把逻辑深度升级到第二层。
但随着“转折点”数量增加，媒体人投入的资源也必然以指数速度上升。用物理概念来说，每一次转折，内容都要在更高的维度中作选择。一次转折是从直线进入平面，二次转折就是从平面进入三维空间。空间导航、或者说建立逻辑线条的难度越来越大。
…….
老观众可能知道，睡前消息节目经常有一些风格粗暴的配图，往往是我用系统自带的绘图板画的。其中最常见的一类图，是三圆交错图。比如说653期节目介绍的美国汽车工人罢工问题：
逻辑链条可以从任何一个诉求开始，每加一个圆，就会增加一个逻辑转折点。把两个转折点解释清楚，中间的结论三角区就很明显了。三个诉求不可能同时满足，所以罢工行为包含了侥幸心理。

……
但是，就像上面三个圆圈的图不能加第四个，在对比历史和现实，分析合理性的时候，四个要素配三个转折点，明显复杂性超标了，影响观众快速理解，快速转发。所以我根据历史相似性，实际上把19世纪的普鲁士案例和日本案例合并了，简化到三个历史阶段：
……
我根据经验建议，凡是有定期更新压力的媒体，如果没有国家资金支持，就要学习毛主席的写作风格，尽量把研究深度控制在2个转折点，只在非常有利的条件下考虑3个转折点。年度选题级别的重大项目，才敢设想4层以上的转折。

我很赞同这个问题下面的很多答主，以及
@睡前消息
马督工的观点，即这是个媒体传播社会学问题。马督工的回答在前面铺垫了一些数学，但很不巧是错的。于是我这篇回答偏个题，讲一些数学，也当作对他回答的补充。
我们可以定义一个“不可能 n 角”，它是一个包含 n 个元素的集合 V=\{v_1, v_2,\dots, v_n\} ，以及 V 的子集族 K(V) ，由于 V 的一个子集都有“是”或“否”含有 v_i 两种取法，所以 V 一共包含 2^n 个不同的子集，即 K 有 2^n 个元素。
以“不可能 3 角”为例：

在这个例子中，我们记 \{v_1\} 为“收益性”， \{v_2\} 为“安全性”， \{v_3\} 为“流动性”，那么 \{v_1, v_2\} 是“不灵活”， \{v_1, v_3\} 是“高风险”， \{ v_2, v_3\} 是“收益低”， \{v_1, v_2, v_3\} 就是“不可能”，如果把空集 \varnothing 定义成“什么都不要求”，那么 K(V)=\{\{v_1\}, \{v_2\}, \{v_3\}, \{v_1,v_2\},\{v_1,v_3\},\{v_2,v_3\}, \{v_1, v_2, v_3\}, \varnothing\} 这个含 2^3=8 个元素的集合就能代表所有的情况。对于 “不可能 n 角”，只需做类似的推广即可。
当然，我们现在只是从“组合”的角度解决了这个问题，而科普，或者媒体，往往要搞一点可视化，来便于读者理解，因此我们需要引入几何，而非抽象的代数（组合）。这个时候就可以引入“单纯形”（simplex，简称单形）的概念。我们可以把 V=\{v_1, v_2,\dots, v_n\} 对应到 n 维欧氏空间 \mathbb R^n 中的 n 个“线性无关”的点，比如可以取 v_1=(0,0,\dots, 0) ， v_2=(1, 0,\dots, 0) ，... ， v_n=(0,0,\dots, 1) ，它们的“凸组合” \{x | x=\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i, \sum_{i=1}^n\lambda_i=1, \lambda_i\geqslant 0\}\subseteq \mathbb R^n 就称作一个“ n-单形”。
这时候 m\leqslant n 个点的子集 \{v_{k_1},v_{k_2},\dots v_{k_m}\} 就表示由这 m 个点“凸组合”成的 m-单形，显然它是原先 n-单形的一个“广义的面”。
例如：

1-单形就是一条线段，2-单形是一个三角形，3-单形是一个四面体。
回到上面“不可能3角”的例子，我们可以用 2-单形实现一个可视化。请允许我直接把 2-单形盖在了原图上：

这样表示2单形的三角形就代表了“不可能”，它的三条边就代表了两个元素组合的情况。
那么“不可能4角”的情况如何呢？事实上我们可以在空间（3维），而非平面（2维）上实现它：

这是一个“3-单形”，其中，3维的四面体可以表示一个状态，它的四个2维的三角形面可以表示4个状态，他的6个1维的棱可以表示6个状态，四个0维的顶点表示4个状态，加上“什么都不干”，一共是 2^4=16 种状态。
如果技术发达到人们可以轻松观察“立体影像”，我猜“不可能4角”会更方便可视化，应用也会更广泛些。
那么“不可能5角”是什么情况？很遗憾的是，它无法在三维空间里用“4-单形”实现可视化。从两个角度解释：“4-单形”是一个四维对象，如果要把它塞到3维空间里必然会“坍缩”一个维度。另一方面，线性代数的知识告诉我们，张成4-单形的5个线性无关的点，可以构成4个线性无关的向量，然而三维空间至多允许3个线性无关向量。
马督工犯的错误也在于此：

他想当然地把正二十面体的20个面分成5份，每份含4个面，用这5份的“相邻关系”来表示5个元素之间的全部关系。事实上，他给出的这种剖分方式，每份也只和两组相邻。

图示为按照马督工的想法分组，这里每组用不同的颜色衔接
这种剖分方式就好比给地球划分“时区”，每份就好像是用地球上的两条经线划分出来的，因此也只和两份相邻。
事实上，不管马督工怎么努力，也不可能找到正二十面体（甚至随便一个球面的三角形剖分）能满足“任意两份都相邻”的5份。
任取一种划分方式，只考虑每份的共同边界围成的区域，就相当于把地球分成了5份，每份在一段边界上相邻。这时候我们取这张“地图”的对偶图，即在每块区域的内部取一点，如果两片区域相邻，那么穿过它们的共同边界连一条线，连接这两个面上的点。

对偶图示意图
这里黑色的线围成一张地图，红色的线表示它的“对偶图”。
假若真的每两块区域都相邻，那么对偶图就实现为了“完全图” K_5 ，即一个含有5个顶点的图，且每两个顶点都由一条棱连接起来。然而，图论中的 Kuratowski 定理说： K_5 不是平面图。由于球面和平面“只差一个点”（你可以想象，把一个气球戳破一个洞，用剩下的球膜可以铺满平面）, K_5 同样也不能是球面上的图，这就产生了一个矛盾。

这张图表示：尽管 K_5 不能嵌入2维平面，但可以嵌入三维空间，但也只能表示全部“两个元素”的关系，如果想表示“三个元素”的关系，给三个顶点之间填上三角形即可。但如果想表示四个元素的关系，那么不同的四面体之间就会产生相交（比如 a_1a_2a_3a_4 与 a_1a_3a_4a_5 相交）。因此表示“不可能5角”的理想几何模型生活在4维空间，但可惜人类缺乏四维空间的直观。
不过我想马督工下意识想用“正二十面体”来解释5个元素的关系也不完全是“无中生有”，正二十面体还真跟“5”有点关系。事实上，“正二十面体”的“旋转对称群”同构于 A_5 ，即5个元素的偶置换。
于是我们再次偏题更远一点：
为了绘图方便，我们考虑与正二十面体对偶的正十二面体：
正十二面体有5个顶点重合的内接正立方体（五边形面的任意一条对角线都决定唯一一个这样的正立方体）：

不计每个立方体的顶点顺序，只考虑它们彼此之间在旋转作用下的置换，可以检查到：如果正二十面体在三维欧式空间的一个旋转下不变（旋转后与原来重合），那么这个旋转导致了5个内接正立方体的偶置换。且恰好旋转的方式共有60种，与5个元素的偶置换的个数相同，即正十二面体（或正二十面体）的对称群同构于 A_5 。
然而，“偶置换群”与“5个元素的组合关系”，在我看来毫不相关。

米勒定律又称“7±2 法则”。
米勒定律表示人类头脑最好的状态能记忆7(±2)个信息块（即5~9个）。
也就是说超过9个信息块之后，大多数人就记不住了。
三个元素可以产生8种组合，在米勒定律的限度内，刚好能被人记住。

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