[明星艺术] 蛇年将至，如何用你的兴趣/专业技能画一条蛇？

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[明星艺术]蛇年将至，如何用你的兴趣/专业技能画一条蛇？

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代码画蛇、数学答主公式画蛇、骑行路线、跑步路线画蛇、剪纸、游戏创建蛇岛、我的世界搭建一个蛇…你会怎么创作呢？蛇年有奖活动： https://www.…

我来提一下数学中辫群（braid group）的概念。
辫群是数学中低维拓扑里最具有吸引力的理论之一，它不仅有自然的几何直观表现，还与数学中的扭结、链环等结构有密切联系。除此之外，它还在量子物理、拓扑量子计算、凝聚态物理等多个领域有广泛应用。
一个著名的例子便是任意子，和传统的玻色子、费米子不同，任意子之间的交换会使得波函数出现非平凡的相位因子，它们的统计行为需要用辫群的表示来描述。
简单来说，辫群 Bn" role="presentation">BnB_n 描述了 n" role="presentation">nn 个元素在空间中的相互交换，可以将其想象为多个绳子相互交织、扭转的过程，一个例子如下图所示：

5 根绳子的缠绕，每一种编织方式都代表了辫群 B_5 的一个元素
辫群 Bn" role="presentation">BnB_n 有 n−1" role="presentation">n?1n-1 个生成元 σ1,σ2,⋯,σn−1" role="presentation">σ1,σ2,?,σn?1\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_{n-1} ，其中 σi" role="presentation">σi\sigma_i 代表的是第 i" role="presentation">ii 和第 i+1" role="presentation">i+1i+1 根绳子之间的交换，这个交换操作通常被称为「交叉」或「扭结」，这些交错的结构正是我们所说的「蛇形」图形的基础。
辫群 Bn" role="presentation">BnB_n 可以表示成 Bn=⟨σ1,…,σn−1∣σiσi+1σi=σi+1σiσi+1, σiσj=σjσi⟩" role="presentation">Bn=?σ1,…,σn?1∣σiσi+1σi=σi+1σiσi+1, σiσj=σjσi?B_n = \left\langle\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1} \mid \sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i} = \sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1}, \ \sigma_{i}\sigma_j = \sigma_j \sigma_i \right\rangle ，其中右边第一个关系式中 1≤i≤n−2" role="presentation">1≤i≤n?21\leq i \leq n-2 ，第二个关系式中 |i−j|≥2" role="presentation">|i?j|≥2|i-j|\geq 2 。
例如我们考虑 4 根绳子的缠绕，所组成的辫群 B4" role="presentation">B4B_4 有 3 个生成元，如下图所示：

辫群 B_4 的 3 个生成元，其他编织结构均可以通过这三个元素的复合构成
值得一提的是，一维曲线只能在三维空间中打结，所以任意子是一个二维空间（即 2+1 维时空）中的物理。对于一个三维空间（即 3+1 维时空），一个粒子的世界线（对应前述的 1 维曲线）显然无法在 3+1 维时空中打结，因此描述三维空间粒子的统计行为需要用到的是置换群 Sn" role="presentation">SnS_n 而非辫群 Bn" role="presentation">BnB_n ，这也是为什么三维空间中只有玻色子和费米子的一个原因。
虽然辫群 Bn" role="presentation">BnB_n 和置换群 Sn" role="presentation">SnS_n 不同，但存在唯一一个群同态 π:Bn→Sn" role="presentation">π:Bn→Sn\pi:B_n\to S_n ，满足 si=π(σi)" role="presentation">si=π(σi)s_i = \pi(\sigma_i) , ∀i=1,2,…,n−1" role="presentation">?i=1,2,…,n?1\forall i=1,2,\dots,n-1 。同态 π:Bn→Sn" role="presentation">π:Bn→Sn\pi:B_n\to S_n 的核即为我们通常所说的单纯辫群 Pn=Ker(π:Bn→Sn)" role="presentation">Pn=Ker(π:Bn→Sn)P_n = \mathrm{Ker}(\pi:B_n\to S_n) 。
至此，我们简单介绍了辫群 Bn" role="presentation">BnB_n 的概念，通过辫群的生成元，我们可以构造出更复杂的交织结构，类似于蛇体在空间中扭曲、盘绕的形态。每一个交换操作对应着空间中「绳子」间的交织，而这些交织正是蛇形轨迹的几何表现。

三根绳子编织过程示例
但如何画出复杂的编织结构呢？
别急，我们可以交给 LATEX" role="presentation">LATEX\mathrm{\LaTeX} ，它有一个非常好用的宏包 braids，可以方便地画出各种编织，如下图所示，给出了 6 根绳子彼此编织的复杂结构，

6 根绳子彼此编织的复杂结构
接下来，我们只需要加一点点细节，画上蛇的头部即可，最终效果如下图所示：

使用 LaTeX 的 braids 宏包绘制出的六条蛇
实现代码：

\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{braids}
\newcommand{\snake}[2]{
    \fill (#1-0.05, 0.02) circle (0.1);
    \fill (#1+0.05, 0.02) circle (0.1);
    \fill[#2] (#1,0) ellipse (0.1 and 0.2);
    \draw[#2, line width=0.5pt] (#1, 0.2) -- (#1+0.05, 0.4);
    \draw[#2, line width=0.5pt] (#1, 0.2) -- (#1-0.05, 0.4);
}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[rotate=-90]
  % 辫图
  \pic[
  rotate=-90,
  line width=2pt,
  braid/strand 1/.style={red},
  braid/strand 2/.style={blue},
  braid/strand 3/.style={green},
  braid/strand 4/.style={yellow},
  braid/strand 5/.style={purple},
  braid/add floor={2,4,3,2},
  name=coordinates,
  ] at (0,0) {braid={| s_1-s_3-s_5 | s_2^{-1}-s_4| s_1-s_4 s_2^{-1}
  s_1-s_3 s_2^{-1}-s_4^{-1}}};

  % 蛇的头部
  \snake{0}{red};
  \snake{1}{blue};
  \snake{2}{green};
  \snake{3}{yellow};
  \snake{4}{purple};
  \snake{5}{black};
\end{tikzpicture}
\end{document}

当然你也可以继续整一些花活，例如文档里展示了绘制花朵的一个例子：

使用 LaTeX 的 braids 宏包绘制出的花朵
实现代码：

\documentclass[border=10pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{braids}
\usepgfmodule{nonlineartransformations}
\makeatletter
\def\polartransformation{%
% \pgf@x will contain the radius
% \pgf@y will contain the distance
\pgfmathsincos@{\pgf@sys@tonumber\pgf@x}%
% pgfmathresultx is now the cosine of radius and
% pgfmathresulty is the sine of radius
\pgf@x=\pgfmathresultx\pgf@y%
\pgf@y=\pgfmathresulty\pgf@y%
}
\makeatother

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
  \begin{scope}
  \pgftransformnonlinear{\polartransformation}% see above
  \pic[
  rotate=90,
  braid/.cd,
  every strand/.style={line width=6pt,magenta!67},
  border height=0cm,
  crossing height=15.7pt,
  gap=.2,
  nudge factor=0.01,
  ] at (0,5) {braid=%
  s_2^{-1} s_3 s_1 s_3 s_2^{-1} s_3 s_1 s_3
  s_2^{-1} s_3 s_1 s_2^{-1} s_3 s_1 s_2^{-1}
  s_1 s_3 s_1 s_2^{-1} s_1 s_3 s_1 s_2^{-1}
  };
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

画一条连续但是处处不可导的蛇——威尔斯特拉斯函数
f(x)=∑k=0∞akcos⁡(bkπx)," role="presentation">f(x)=∑k=0∞akcos?(bkπx),\begin{align*}f(x)=\sum_{k=0}^\infty a^k \cos(b^k \pi x),\end{align*}
其中 0<a<1" role="presentation">0<a<1b 是正奇数，且满足1+\frac{3\pi}{2},\end{align*}">ab>1+3π2," role="presentation">ab>1+3π2,\begin{align*}ab>1+\frac{3\pi}{2},\end{align*} 例如 a=5/6, b=7" role="presentation">a=5/6, b=7a=5/6,\ b = 7 或者 a=1/2, b=13." role="presentation">a=1/2, b=13.a=1/2,\ b = 13.

关于Weierstrass函数的不可导证明非常复杂，具体证明可以参见这篇论文。
https://people.math.aau.dk/~jjohnsen/Articles/WEBfiler/nowhere.pdf?people.math.aau.dk/~jjohnsen/Articles/WEBfiler/nowhere.pdf
我们再构造一个例子叫做Blancmange Curve，并给出它是一个连续却处处不可导的曲线的证明，给大家对于这类性质函数的一个直观的理解。
考虑函数 f1(x)=|x−round(x)|" role="presentation">f1(x)=|x?round(x)|f_1(x)=|x-\textrm{round}(x)| ，即 x" role="presentation">xx 和距离它最近的整数之间的距离。容易看出，这个函数的周期为 1" role="presentation">11 ，在所有 x=k/2" role="presentation">x=k/2x=k/2 （ k" role="presentation">kk 是整数）处不可导。

接下来定义 f2(x)=f1(2x)/2" role="presentation">f2(x)=f1(2x)/2f_2(x)=f_1(2x)/2，这个函数周期为 1/2" role="presentation">1/21/2 ，在所有 x=k/4" role="presentation">x=k/4x=k/4 （ k" role="presentation">kk 是整数）处不可导。
以此类推，定义 fn(x)=fn−1(2n−1x)/2n−1" role="presentation">fn(x)=fn?1(2n?1x)/2n?1f_n(x)=f_{n-1}(2^{n-1} x)/2^{n-1}（ n" role="presentation">nn 是正整数），这个函数周期为 1/2n−1" role="presentation">1/2n?11/2^{n-1} ，且在所有 x=k/2n" role="presentation">x=k/2nx=k/2^n （ k" role="presentation">kk 是整数）处不可导。
可以看到随着 n" role="presentation">nn 的增加，函数的周期越来越小，不可导的点在任意有限长度区间（例如 [0,1]" role="presentation">[0,1][0,1] 上）变得越来越多。
最后定义 F(x)=∑n=1∞fn(x)" role="presentation">F(x)=∑n=1∞fn(x)\begin{align*}F(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\end{align*} ，图像如下：

下面证明 F" role="presentation">FF 的连续性和处处不可导性。
性质1（连续性）：
首先 F(x)" role="presentation">F(x)F(x) 取值在 [0,1]" role="presentation">[0,1][0,1] 之间，因为 0≤F(x)≤∑n=1∞12n=1." role="presentation">0≤F(x)≤∑n=1∞12n=1.\begin{align*}0\le F(x)\le \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^{n}}=1.\end{align*}
对于任意一点 x0" role="presentation">x0x_0 和 0,">ϵ>0," role="presentation">?>0,\epsilon>0, 注意到 F(x)=∑n=1mfn(x)+12mF(2mx)" role="presentation">F(x)=∑n=1mfn(x)+12mF(2mx)\begin{align*}F(x)=\sum_{n=1}^{m}f_n(x)+\dfrac{1}{2^m}F(2^m x)\end{align*}(自相似性）。我们选择足够大的 m" role="presentation">mm 使得 1/2m<ϵ/2" role="presentation">1/2m<?/2f_n(x) 是连续的，选择 0">δ>0" role="presentation">δ>0\delta>0 使得 |fn(x)−fn(x0)|<ϵ/2m" role="presentation">|fn(x)?fn(x0)|<?/2mn=0,1,\ldots,m-1 都成立，于是
|F(x)−F(x0)|≤m⋅ϵ2m+ϵ2=ϵ." role="presentation">|F(x)?F(x0)|≤m??2m+?2=?.|F(x)-F(x_0)|\le m\cdot \dfrac{\epsilon}{2m}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon.
因此 F" role="presentation">FF 连续。
性质2（处处不可导）：
考虑任意一点 x0" role="presentation">x0x_0 ，对于任何一个 h=2−m" role="presentation">h=2?mh=2^{-m} (m" role="presentation">mm 为正整数）可以找到整数 s" role="presentation">ss 使得 um=s2m" role="presentation">um=s2mu_m=\dfrac{s}{2^m} 和 vm=s+12m" role="presentation">vm=s+12mv_m=\dfrac{s+1}{2^m} 满足um≤x0<vm." role="presentation">um≤x0<vm.f_k(u_m)=f_k(v_m)=0 对于 m">k>m" role="presentation">k>mk>m , 我们有
F(vm)−F(um)vm−um=∑n=1mfn(vm)−fn(um)vm−um." role="presentation">F(vm)?F(um)vm?um=∑n=1mfn(vm)?fn(um)vm?um.\begin{align*}\dfrac{F(v_m)-F(u_m)}{v_m-u_m}=\sum_{n=1}^m \dfrac{f_n(v_m)-f_n(u_m)}{v_m-u_m}.\end{align*}
而由于 f_n 在 [u_m,v_m] 上是线性的， \dfrac{f_n(v_m)-f_n(u_m)}{v_m-u_m} 一定等于 1 或者 -1，因此
\begin{align*}\dfrac{F(v_m)-F(u_m)}{v_m-u_m}=\sum_{n=1}^m \pm 1\equiv m(\text{mod }2).\end{align*}
随着 h\to 0, \dfrac{F(v_m)-F(u_m)}{v_m-u_m}极限不存在（奇偶性在不断变化），即在 x_0 处不可导。

Python意为蟒蛇，Python 的 Logo 也是两条缠绕在一起的蟒蛇，今年也算是Python的本命年了。
先画个简单地：

import turtle

def setup_window(width=650, height=350, start_x=200, start_y=200):
    """设置窗口大小和初始位置"""
    turtle.setup(width, height, start_x, start_y)

def move_to_start_position():
    """移动蛇到起始位置"""
    turtle.penup()
    turtle.goto(-250, 0)  # 移动到左边开始画
    turtle.pendown()

def configure_turtle(pen_size=25, pen_color="red", initial_heading=-40):
    """配置蛇属性"""
    turtle.pensize(pen_size)
    turtle.pencolor(pen_color)
    turtle.seth(initial_heading)

def draw_pattern():
    """绘制图案"""
    for _ in range(4):
        turtle.circle(40, 80)
        turtle.circle(-40, 80)
    turtle.circle(40, 40)  # 80/2 = 40
    turtle.fd(40)
    turtle.circle(16, 180)
    turtle.fd(40 * 2 / 3)

def main():
    try:
        setup_window()
        move_to_start_position()
        configure_turtle()
        draw_pattern()
        turtle.done()
    except Exception as e:
        print(f"发生错误: {e}")
        turtle.bye()  # 关闭窗口

if __name__ == "__main__":
    main()

用python代码画下这个双头蟒的LOGO：

自己尝试写了下，效果很差，不献丑了，在此引用网友代码：https://blog.csdn.net/weixin_55865873/article/details/124359141" data-tooltip-richtext="1" data-tooltip-preset="white" data-tooltip-classname="ztext-reference-tooltip">[1]

import turtle as t

# 初始化颜色模式和画笔速度、粗细
t.colormode(255)
t.speed(10)
t.pensize(3)

# 将画笔移动到绘制起始位置
t.pu()
t.goto(-200,105)

# 开始绘制蓝色区域
t.pencolor(54,110,157)
t.fillcolor(54,110,157)
t.begin_fill()
t.goto(-225,-115)
t.pd()
t.seth(90)
t.fd(55)
t.circle(-50,90)
t.fd(190)
t.circle(50,90)
t.fd(100)
t.circle(85,90)
t.fd(100)
t.circle(85,90)
t.fd(30)
t.left(90)
t.fd(150)
t.seth(270)
t.fd(20)
t.right(90)
t.fd(220)
t.circle(50,90)
t.fd(105)
t.circle(50,90)
t.fd(50)
t.left(90)
t.end_fill()

# 在蓝色区域内绘制白色圆形
t.fillcolor(255,255,255)
t.pu()
t.goto(-125,155)
t.pd()
t.pencolor(255,255,255)
t.begin_fill()
t.circle(20,360)
t.end_fill()

# 开始绘制黄色区域
t.pu()
t.goto(85,80)
t.pd()
t.pencolor(255,212,69)
t.fillcolor(255,212,69)
t.begin_fill()
t.seth(270)
t.fd(55)
t.circle(-50,90)
t.fd(190)
t.circle(50,90)
t.fd(100)
t.circle(85,90)
t.fd(100)
t.circle(85,90)
t.fd(30)
t.left(90)
t.fd(150)
t.right(90)
t.fd(20)
t.right(90)
t.fd(220)
t.circle(50,90)
t.fd(105)
t.circle(50,90)
t.fd(50)
t.end_fill()

# 在黄色区域内绘制白色圆形
t.fillcolor(255,255,255)
t.pu()
t.goto(-10,-180)
t.pd()
t.pencolor(255,255,255)
t.begin_fill()
t.circle(20,360)
t.end_fill()

# 绘制完成，显示图形
t.done()

参考^用python的turtle库画一个python的logo https://blog.csdn.net/weixin_55865873/article/details/124359141

数学专业，用数学公式画一条蛇吧。
蛇的形状是弯弯曲曲的，用几个正弦函数搞出点不规则弯曲感，生成一个类似蛇形状的曲线。
x=y+sin(2y)+0.3sin(3y)
把公式用python画出来：

得加眼睛，画蛇点睛嘛，要不这蛇看着不灵动。这个简单，两个圆形。

再加个三角形头部，画个舌头，妥了。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle
plt.figure(figsize=(10,5))
# 参数范围
t = np.linspace(0, 10 * np.pi, 1000)  # 从 0 到 10π，生成1000个点

# 蛇的身体（两条曲线表示宽度）
body_width = 0.5  # 蛇的宽度
x_body = t + np.sin(2 * t) + 0.3 * np.sin(3 * t)
y_body = t

# 生成两条平行曲线
x_body_outer = x_body
y_body_outer = y_body
x_body_inner = x_body
y_body_inner = y_body - body_width

# 蛇的头部（假设头部在 t=0 附近）
head_x = x_body[0]
head_y = y_body[0]
triangle_x = [head_x - 1, head_x, head_x + 1]
triangle_y1 = [head_y, head_y + 0.2, head_y + 0.4]
triangle_y2 = [head_y, head_y - 0.2, head_y - 0.4]
plt.plot(triangle_x, triangle_y1, color='green', linewidth=3)
plt.plot(triangle_x, triangle_y2, color='green', linewidth=3)

# 蛇的眼睛（两个小圆）
eye1 = Circle((head_x + 0.5, head_y + 0.5), radius=0.3, color='black')
eye2 = Circle((head_x + 0.5, head_y - 0.5), radius=0.3, color='black')

# 蛇的舌头（两条线段）
tongue_x = [head_x - 1, head_x - 1.5, head_x - 1.8]
tongue_y1 = [head_y, head_y + 0.3, head_y + 0.6]
tongue_y2 = [head_y, head_y - 0.3, head_y - 0.6]

# 绘制蛇的身体（两条曲线）
plt.plot(x_body_outer, y_body_outer, color='green', linewidth=3)
plt.plot(x_body_inner, y_body_inner, color='green', linewidth=3)

# 填充身体内部
plt.fill_between(x_body, y_body_outer, y_body_inner, color='green', alpha=1)

# 添加蛇的眼睛
ax = plt.gca()
ax.add_patch(eye1)
ax.add_patch(eye2)

# 添加蛇的舌头
plt.plot(tongue_x, tongue_y1, color='red', linewidth=2)
plt.plot(tongue_x, tongue_y2, color='red', linewidth=2)

# 设置图形

plt.title("Snake with Eyes and Tongue")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
#plt.axis('equal')  # 保持比例
plt.show()

Lemma(Snake Lemma/蛇引理).http://www.shuxueji.com/w/2329" data-tooltip-richtext="1" data-tooltip-preset="white" data-tooltip-classname="ztext-reference-tooltip">[1]考虑一Abel范畴 \mathcal{A} 中的交换图:

Snake Lemma
使得每一横列均为正合序列. 此时存在一个联系 a,b,c 的核与上核的正合序列： \ker a\to\ker b\to \ker c\stackrel{d}{\longrightarrow}{\rm coker}\ a\to{\rm coker}\ b\to{\rm coker}\ c\\ 此外, 若 f 是单射, 则 \ker a\to\ker b 亦然; 若 g' 是满射, 则 {\rm coker}\ b\to{\rm coker}\ c 亦然.
参考^数学百科-同调代数-蛇引理 http://www.shuxueji.com/w/2329

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